AI 为什么突然擅长数学：人靠品味剪枝，AI 靠验证器
原文：AI Is Getting Good at Math. Here’s Why.，Ankit Maloo，Latent Space，2026-10-23。另参考 OpenAI 的单位距离猜想公告和外部数学家的伴随论文 Remarks on the disproof of the unit distance conjecture（Gowers、Tsimerman、Alon 等人的点评）。
今年 AI 在数学上的战绩有点吓人。按原文的梳理：5 月，OpenAI 的内部模型给 Erdős 1946 年提出的单位距离猜想找到了反例，这个问题悬了 80 年，几乎所有人都以为它是对的；之后 OpenAI 又发了 CDC（圈双覆盖）问题的证明，7 月前再解了十道公开难题，9 月是一份 Navier–Stokes 相关的证明；Anthropic 那边发了费马大定理的形式化，以及黎曼猜想相关的界的改进。
作者关心的问题很实际：**能不能预测 AI 下一个会解出什么题？**如果 AI 解题的方式和人不一样，找出这个差别，就知道该把它往哪儿用。
这篇文章我读了两遍，觉得它的框架不只适用于数学，对每天让 Agent 干活的人也很有用。前半部分讲原文，后半部分是我自己的看法。
先讲原文
题有多难：需要几个提示，提示之间要下多少功夫
一个很朴素的模型：解任何题，都需要一串「提示」（关键洞见），提示之间是大量的功夫。
洞见 → 下功夫 → 洞见 → 下功夫 → 解出来
专家需要的提示比新手少，因为背景知识多。Fields 奖得主 Gowers 在点评单位距离反例时用了类似的想法：**一个证明有多难，就看专家需要多短的一串提示才能把它重建出来。**他给单位距离写的提示只有三条：
- 去找反例；
- 把已知最好的构造推广；
- 试一串次数越来越高的数域，但只用范数有界的素理想。
他还给了一个半开玩笑的公式：难度约等于 (2^k + t)，(k) 是提示的条数，(t) 是展开这些提示要下的功夫。原文作者的吐槽很到位：这种公式在你试着往里填数字之前看起来都很严谨。但意思是对的：难度随需要的洞见数指数增长。
一个提示值多少，取决于两件事：
- **事前看起来多不像、事后看起来多显然。**单位距离的「去找反例」就是典型：事后看理所当然，事前几乎没有专家往这儿想。
- **它在序列里的位置。**提示是有顺序的，第三条只有在前两条的功夫做够了之后才用得上。所以「把一千种数学技巧列出来挨个组合」这种暴力法行不通，组合数比宇宙里的原子还多。
人广度优先，AI 深度优先
人类数学家的搜索方式是广度优先：想出很多方向，每个浅浅试一下，放弃大多数，只押几个。原因很现实：展开一个想法要好几个月，下注之前得有理由相信它能走通。按原文的估算，三个月一个想法，一个研究者最高产的十年里大概只有二十次认真下注的机会。
AI 正好反过来，是深度优先：给它一个提示，它就一路推到底，给出一个看起来像样的证明，对不对另说。并行开十个 Agent，就得到十个推到底的尝试。放任不管，你会得到很多「漂亮的错误证明」。
这听起来很浪费，直到你加上一个自动验证器，把推完的路线里对的挑出来。有了验证器，在不靠谱的想法上砸大量算力就变得理性了：几分钟就知道一条路行不行。
于是关键的翻转出现了：**如果五分钟就能知道一个提示管不管用，这个提示需要多好？**对人来说门槛很高，因为试错要几个月；对模型来说门槛几乎消失，平庸的、冷门的、刚冒出来的想法都值得一试。
但有一个代价：验证器只能判「走完的论证」，判断不了半路上的想法有没有前途。
失败的尝试，就是下一轮的提示
模型不需要一个明确的方向才能开工，预训练已经给了它关于这个问题历史和前人尝试的先验。更重要的是，每一次失败都可以作为「负提示」喂回去：系统不断积累「哪些路已经走过、为什么不通」。
作者从 OpenAI 解 CDC 问题时用的提示词里，反推出一个三角色的 harness：
- 起草者：写给求解者的提示词，内容来自模型先验、上一轮的错误、以及已经走不通的路；
- 求解者：按提示词出一个或多个候选证明，可以并行开很多子 Agent；
- 验证器：检查论证是否成立、是不是真的证明了要求的结论。
那份 CDC 提示词里的句子很能说明问题：
- 「为了这次任务，先假定完整的肯定性证明存在。」防止模型因为「这是公开难题」就早早放弃。
- 一长串不算数的替代品：特殊图类的证明、有界长度的变体、归约到另一个未证明的猜想、只验证到某个图规模……都不行。
- 把常见的失败模式升级成常驻检查：每个候选都要检查是否恰好覆盖两次、是否有重复边冒充环、平行边、断开的图、循环论证……
- 还有一句专门对付「学来的偷懒」：不要因为当前方法失败、或者子 Agent 报告还有定理级的缺口，就返回。
作者说，这里的每一行，都是一条失败的路被写成了一条指令。
复盘单位距离：差的不是能力，是撑下去
用 harness 的视角回看 Gowers 的三条提示：
- 第一条「去找反例」最难，因为数学界和模型的预训练先验都认为猜想是对的。作者推测，起草者最可能是在求解者一次次证明失败之后，才转向找反例的。每失败一次，找反例就变得不那么离谱一点。
- **第二条「推广已知构造」**是标准动作，但工作量巨大，而且推广的是一个几乎没人在找的反例。
- 第三条「次数递增的数域」，在前两条把空间搭好之后，就是标准工具。
最有意思的是 Jacob Tsimerman 的故事。他是数论专家，最近加入了 OpenAI，之前就试过构造这个反例，也想到过递增次数，然后停下了。他的原话是：
这是一个非常吓人的动态，很难在分析的各种区间里保持指引方向的直觉，非常耗时，而且经常走不通。
拦住他的不是能力，而是一个理智的人在沼泽里走了好几周、看不到对岸时的正常反应。心理学几十年前就研究过这个：Metcalfe 和 Wiebe 每 15 秒问一次解题者「你觉得离答案还有多远」。普通题目上，大家报告的进展稳步上升；而在需要顿悟的题目上，这个感觉一直是平的，直到突然解出来。顿悟型问题没有梯度，你不知道自己离答案多近。
所以对专家来说，问题是双重的：有没有人走进这个分支？走进去之后，能不能撑到普通的功力把活干完？撑下去的成本是工作记忆、士气和职业生涯。而对 AI 来说，这恰恰是巨大的优势。Tsimerman 自己也说：
AI 的优势可能不只是能试遍所有已知方法，而是能在更凶险的水域里玩得更久，而不被压垮。
Gowers 在伴随论文里还讲了一个细节：他第一次听说时，误以为模型证明了这个猜想，整晚都在调整世界观；第二天才知道是反证，反而松了一口气。因为一个反例，可以想象成计算机试了很多东西、某一刻碰巧撞上了；而一个证明，往往需要一个全新的大想法。
今年模型多了三样能力
作者认为，今年的模型叠加了三种能力：
- 串联原语：第 1 步造出来的东西，能在长任务的第 (n) 步用上。这降低了 (t)。
- 自我验证：在轨迹内部就能抓住写错的步骤（抓不住那种语法正确但走不通的步骤）。OpenAI 专门用大规模真实样本训练了数学验证。这让剪枝更便宜。
- 编排：指挥子 Agent、用记忆引导方向、排除错路、协调多个 Agent。负提示就是这样积累起来的。
预测哪道题先倒：看分支数
Gowers 的公式漏了一样东西：探索提示树本身要花的时间。每一步有 (b) 个像样的选择，需要 (k) 个提示，就是 (b^k) 条路径。人靠品味和判断把有效的 (b) 压得很小，大多数分支默认就丢掉了；AI 几乎每条像样的分支都得走，只是走得快。
于是有了一个预测：(b^k) 乘以算力成本越小的问题，AI 越先拿下。
- 这解释了为什么网络安全看起来复杂却最先倒：漏洞链早有先例，模型只需要填空，中间步骤的分支数大概只有 1 到 2。
- 也解释了「去找反例」为什么这么强：它一下子把解空间和 (b) 都压小了。现在已经有社区在组织 Agent 给所有公开难题找反例。
- 还有一个推论：AI 特别擅长「收尾」，也就是关键的概念跳跃已经有人做了，剩下的是繁琐复杂的计算。Navier–Stokes 那份证明沿着 Córdoba 和 Martínez-Zoroa 的路线走完，篇幅 166 页，用了 1 万个 Agent、3000 亿 token、88 个小时。
作者还有一句很直白的话：实验室会挑解空间窄的问题来展示自己的模型。Gowers 则认为，如果人类还在哪儿保有优势，那就是「搜索树又深又宽、没有严格剪枝连计算机也搜不动」的问题。
一个分歧：失败的信息量，取决于背后的信念
人类挑方法很谨慎，然后花几个月在上面。一条失败的路之所以有价值，恰恰因为有人足够相信它、为它花了几个月；专家明确拒绝某条路，这个拒绝本身也带着判断。
AI 的解答来自把每条像样的路都走完，失败很便宜，大多数很幼稚。**失败里的信息量，和背后的信念成正比。**而且我们很少能看到 AI 的失败，更别说理解它为什么失败。
所以作者认为人和 AI 是互补的：**人擅长减少分支，模型擅长缩短剪掉一条分支的时间。**专家可以在决定是否投入三个月之前，先让模型把一个想法端到端跑一遍。但需要很多洞见的问题（(k) 很大），对两边都难。
他最后引用了陶哲轩：解题只是数学更深目的的代理，那个目的是发展我们的理解。一个结果是一次社区事件，让人解释新想法、把它和旧想法连起来。只公布最终答案，是把目的地错当成了旅程。
彩蛋：AI 能想出广义相对论吗？
有人提过一个测试：用 1901 年以前的数据训练模型，看它能不能想出广义相对论。作者的看法是，如果大家专门冲这个目标，会很快。因为它需要的提示不多：第一个就是「把引力当几何」，这一下就把解空间压窄了；之后的数学极难，但恰好是模型擅长的。模型会先试「引力是力」「平直空间里的场」「改一改平方反比律」，每个都撞上 1901 年已知的事实（最有名的是水星近日点进动），每失败一次，「几何」就更可能一点。
我的看法
一、验证器才是 AI 能力的边界
这篇文章最打动我的，是它给「AI 在哪些领域先成熟」提供了一个机制解释。
前几天写 OpenAI《永恒的互补》时，我借用过它的「深度型 / 广度型」分法：数学、软件这种靠推理就能走很远的领域先被改写，药物、芯片这种要大量实证的领域慢得多。当时我的解释是「软件的测试就是廉价的模拟」。这篇文章把这一点说透了：**AI 的深度优先搜索，只有在有便宜验证器的地方才划算。**数学有形式化检查和专家核验，代码有测试，网络安全有「漏洞能不能跑通」。没有验证器的地方，AI 只会产出「漂亮的错误证明」。
还有一个巧合：写 OpenAI 文本水印时我记过，数学类文本最难打水印，因为推导的每一步几乎只有一个正确写法。每一步只有一个正确答案，既让水印失效，也让验证变得便宜。
落到日常：这篇博客就是 Agent 端到端写出来的，我敢放手，是因为发布前有 verify:blog 检查封面、配图和链接，构建不过就推不上去。想让 AI 在你的领域发力，先造验证器：测试、检查清单、模拟器、能自动跑的验收标准。验证器有多便宜，你就能让 AI 跑多野。
二、失败清单是 harness 最值钱的资产
看到 CDC 那份提示词的时候，我第一反应是：这不就是我工作区里的 AGENTS.md 吗？
我的 Agent 工作区里有很多「踩过的坑」：信息雷达调试必须加 --dry-run，不然当天的条目会被标成已读；OpenClaw 升级不能直接跑 openclaw update，要先停网关、再装、再迁移；前几天 Reddit 热点连续几天没推送，查出来是匿名额度每分钟只给一次，修好之后也写进了备忘。每一条都是一次失败被写成了一条常驻指令，和 CDC 提示词里「不算数的替代品」「常驻检查」是一回事。
我之前写过 Warp 的 Skills 反馈环，也是同一个思路：Agent 根据人类的反馈去改 Skill 文件，而不是指望模型自己变聪明。
差别在于回流的速度。数学实验室每一轮的失败都自动进入下一轮提示词；我的回流还要靠出了错之后，人和 Agent 一起补，慢一拍。下一步值得做的，是让 Agent 出错之后自动起草一条负提示，我只负责审。
三、人的位置：从「挖」变成「换问题」
单位距离的第一个提示「去找反例」，不是更努力地挖，而是换了一个问题。Gowers 坦白说：「我从来没想过要去反证它。」原文脚注里有句话很值得琢磨：品味来自先验，先验可能是错的。
我以前理解的品味，是 Taste at Speed 那篇说的「过滤函数」：做 5 个原型砍 4 个，80% 的淘汰率才是重点。这篇文章让我补上了另一半：在试错几乎免费的时候，品味不只是砍分支，还包括主动让 AI 去试你觉得不可能的方向。以前一个冷门方向要赌三个月，你当然不试；现在它只要几分钟，不试反而是浪费。
所以人更值钱的能力，会从「把一条路挖到底」，转向「把问题换一种问法」和「决定哪些先验值得被挑战」。
四、结果有了，理解可能没了
陶哲轩那句「把目的地错当成旅程」，让我想起前几天分析的两个 Reddit 帖子。一个是做了 30 年开发的游戏工作室老板说：用 AI 写代码的人学不到东西，因为理解代码要靠写，而现在没人写了。另一个是 AskReddit 上关于哪些工作会消失的讨论，高赞的担忧是：初级岗位没了，资深的人退休之后谁来接？
数学界面对的是同一个问题的另一个版本。AI 把每条路走完，给出一个对的答案，但「为什么那些看起来很有希望的路走不通」这类知识，恰恰是下一代数学家成长需要的。如果这些失败轨迹不公开，我们得到的是一个个孤立的结果，而不是对领域更深的理解。
我觉得实验室能做的一件事，是像那份 CDC 提示词一样，把失败的尝试连同原因一起公开。对普通人也一样：用 AI 解决问题之后，至少花点时间看看它试过、放弃过哪些路，这是唯一还能留在自己脑子里的东西。
五、别忽略算力账和选择偏差
- **这套打法很贵。**Navier–Stokes 那份证明用了 1 万个 Agent、3000 亿 token、88 小时。「让 Agent 把每条路都走到底」，在你自己的项目里意味着真金白银。前几天写 Cloudflare x402 时，我写过 Agent 花钱需要单笔上限和任务预算，这里是同一个问题的放大版。
- **展示的题是挑过的。**原文自己也承认，实验室会挑解空间窄的问题来展示。看到「AI 又解了一道难题」时，先问一句：这道题的分支多不多、是不是收尾型？
- **框架是事后解释。**需要几个提示，只有解出来之后才知道。它适合用来判断方向，不适合用来精确预测。
- **证明本身还要时间检验。**单位距离的反例已经有外部数学家核验并写了伴随论文；而 166 页的 Navier–Stokes 证明，原文作者自己也说只是「粗读」。
可以怎么用
- 判断一个任务适不适合交给 AI，先问三个问题：有没有便宜的验证器？每一步的分支多不多？需要几个反直觉的洞见？三个答案都对 AI 友好，就大胆放手。
- 搭 harness 时照着这三个角色来：起草者负责积累失败清单，求解者负责并行试，验证器负责判对错。最值钱的是失败清单，要让它自动增长。
- 个人能力上，练「换个问法」的能力，敢于挑战大家都默认的先验；同时保留一部分自己亲手推、亲手写的环节，理解只会长在那里。
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